Числовые множества
- Что такое множество
- Z – Целые числа
- Q – Рациональные числа
- I – Иррациональные числа
- R – Действительные (вещественные) числа
Для дальнейшего изучения математики нам необходимо познакомиться с некоторыми терминами.
Что такое множество
Множеством называется набор каких-либо объектов. Например, множеством может быть совокупность всех книг в библиотеке, множество всех библиотек в городе, множество всех слонов в каком-нибудь зоопарке или множество всех селедок в мире.
Чтобы легче понять всю структуру и иерархию числовых множеств, разберем точно такую же структуру и иерархию множеств животного мира. Отличаются множества чисел от этих множеств животных только тем, что они состоят не из чисел и тем, что они конечны, их структура и буквенное обозначение абсолютно такое же.
Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества. Чтобы отличить одно множество от другого их обозначают разными латинскими буквами. Для примера назовем множество всех селедок в мире буквой N, а какую-нибудь конкретную селедку буквой a, значит, элемент a будет являться одним из элементов множества N, тогда говорят, что элемент a принадлежит множеству N. Принадлежность элемента a множеству N обозначают символом ∈:
a ∈ N
Читается эта запись так: «a принадлежит N».
Изобразим множество N в виде фигуры, внутрь которой мысленно поместим все селедки в мире.
Назовем множество всех рыб в мире буквой Z, так как каждая селедка является рыбой, то элемент a принадлежит и множеству Z:
a ∈ Z
Нарисуем множество всех рыб Z так, чтобы каждая селедка из множества N оказалась еще и внутри множества рыб Z. Тогда будет видно, что любая селедка принадлежит множествам N и Z.
Если каждый элемент из множества селедок N является еще и элементом множества рыб Z, то N называют подмножеством Z и обозначают символом ⊂. Следующая запись означает, что множество N является подмножеством множества Z:
N ⊂ Z
Обозначим множество всех морских животных буквой Q, тогда наша селедка a будет принадлежать и этому множеству:
a ∈ Q
А так как любая рыба – это морское животное, то множество всех рыб Z будет еще и подмножеством всех морских животных Q:
Z ⊂ Q
Значит, нарисуем множество Q так, чтобы его частью было множество Z.
Множество сухопутных животных назовем заглавной латинской буквой I. Это множество стоит совершенно отдельно от множества морских животных и не имеет с ним ни одного общего элемента.
Осталось только объединить всех морских и сухопутных животных в одно множество, которое мы обозначим буквой R. Теперь точно можно сказать, что любое животное будет принадлежать этому множеству R.
По этому рисунку легко определить, что селедка принадлежит сразу четырем множествам N, Z, Q, и R, т. е. она является селедкой, рыбой, морским животным и вообще животным из множества R. Акула принадлежит множествам Z, Q, R, значит она – рыба морское животное и просто животное одновременно. Морская звезда – элемент множеств Q и R, потому что она не селедка, не рыба, а морское животное и вообще животное. Кот принадлежит множествам сухопутных животных I и просто животных R.
Каждое из множеств животных N, Z, Q, I, R состоит из огромного, но конечного количества элементов, но множества могут содержать и бесконечное количество элементов, к таковым относятся всевозможные числовые множества, элементами которого являются числа. Далее подробно разберем каждое из числовых множеств, после тренировки на селедках это будет гораздо проще.
Z – Целые числа
Если к множеству натуральных чисел присовокупить число ноль и все целые отрицательные числа, то получится множество целых чисел, которое принято обозначать буквой Z. К целым относятся такие числа как:
... −5; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...
Получается, что множество натуральных чисел N является подмножеством целых чисел Z:
N ⊂ Z
Значит, любое натуральное число будет еще и целым, но не каждое целое будет натуральным, подобно тому, как каждая селедка является рыбой, но не каждая рыба является селедкой. Число 4 будет являться как натуральным, так и целым, а число −4 является целым, но не является натуральным.
4 ∈ N, 4 ∈ Z, −4 ∈ Z
Целые числа не будут иметь не только самого большого числа, но и самого маленького, потому что они бесконечны как в положительную сторону, так и в отрицательную:
...; −1937499345; ...; −1000000000; ...; −1000000; ...; −1000; ...; −5; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; ...
Q – Рациональные числа
Число x называется рациональным, если его можно представить в виде дроби, где числителем является целое число, а знаменателем – натуральное:
Попробуем выяснить, является ли число −2.5 рациональным числом. Для этого представим его в виде дроби. Очевидно, что −5 деленое на 2 будет равно −2.5:
В получившейся дроби числитель −5 – целое число, а знаменатель 2 – натуральное, значит, −2.5 – рациональное число.
Число 0.25 также можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем:
Каждое целое (а значит, и натуральное) число является еще и рациональным, потому что целое число всегда можно представить в виде дроби, у которой целый числитель и натуральный знаменатель. Таким дробям равны числа 2 и −2, поэтому они рациональные:
Не обязательно знаменатель должен быть равен единице, числа 2 и −2 можно представить и в виде других дробей:
Следовательно, число 2 является сразу и натуральным, и целым, и рациональным; число −2 – целым и рациональным; а число 0.25 – рациональным. Подобно тому как селедка – это с одной стороны – рыба, с другой – морское животное, а морская звезда – только морское животное.
Сразу не удастся понять какой дроби равно число 12.96875, тогда умножим и разделим его на 100000, оно от этого не изменится:
Числитель 1296875 – целое число, Знаменатель 100000 – натуральное, значит, 12.96875 ∈ Q.
Хотя любое число в виде десятичной дроби с конечным количеством цифр после десятичной запятой (или точки) всегда является рациональным, потому что его всегда можно представить в виде дроби. В числе 12.96875 после десятичной точки стоит пять цифр, а пять – конечное число, значит, число 12.96875 – точно рациональное.
Если все-таки число в виде десятичной дроби имеет бесконечное количество цифр после десятичной точки или запятой, но при этом с некоторой очередной цифры начинает повторяться один и тот же набор цифр, то такое число тоже рациональное. Например, это число рациональное, потому что в нем бесконечно повторяется сочетание цифр 2, 7 и 0:
1.4270270270270270270...
Его можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем:
Разделим в столбик 264 на 185, чтобы убедиться, что цифры 2, 7, 0 будут постоянно повторяться до бесконечности.
Вот еще примеры рациональных чисел с повторяющимся набором цифр 3, 15, 123, 2376, 142857:
На самом деле повторяющиеся цифры есть в любом рациональном числе, просто если эта повторяющаяся цифра – ноль, то ее обычно не пишут. Например, в числе 12.96875 после цифры пять можно написать любое количество нулей, но значение этого числа от того не изменится:
12.96875= 12.96875000000000000...
В любом целом числе, которое тоже считается рациональным, идет бесконечное количество нулей, но писать их как правило нет нужды:
8=8.00000000000...
Среди целых чисел можно найти два таких, между которыми других целых чисел нет. Например, на числовой прямой между числами 3 и 6 есть два других целых числа 4 и 5, а между числами 8 и 9 ни одного другого целого числа нет.
А среди рациональных найти такую пару разных чисел не получится: между любыми двумя разными рациональными числами всегда есть бесконечное количество других рациональных чисел: например, между числом 0.1 и 0.2 есть числа 0.15, 0.16, 0.17, и найти их там можно сколько угодно.
I – Иррациональные числа
Иррациональными называются числа, которые не являются рациональными. Такие числа невозможно представить в виде дроби, у которой целый числитель и натуральный знаменатель. Иррациональные числа, представленные в виде десятичной дроби, имеют бесконечный набор цифр после десятичной запятой или точки, только в отличие от рациональных, там никогда не будет повторяющегося одинакового набора цифр. Например, число π и число e – оба иррациональные:
Значит, эти числа принадлежат множеству иррациональных чисел, которое обозначают буквой I:
Через несколько разделов этого сайта мы обязательно познакомимся с числами π и e значительно ближе, оба они играют очень важную роль в мире математики.
Попробуем подобрать число, которое при умножении на себя будет равно 7. Число 2 при умножении на само себя меньше семи, а 3 – больше семи:
2∙2=4
3∙3=9
Значит, чтобы получить 7, нужно подобрать число больше двух и меньше трех, попробуем 2.6:
2.6∙2.6=6.76
Уже ближе к семи, попробуем число 2.64:
2.64∙2.64=6.9696
Можно подобраться еще ближе:
2.645∙2.645= 6.996025
И еще:
2.6457∙2.6457= 6.99972849
2.64575∙2.64575= 6.9999930625
2.645751∙2.645751= 6.999998354001
И сколько бы мы не добавляли еще цифр к числу 2.64575, мы никогда не получим ровно 7, а будем только приближаться к семи, и никогда не встретим повторяющегося набора цифр, как это было в рациональном числе.
Поэтому число, которое при умножении на само себя равно 7, является иррациональным. Представить точное значение этого числа (как и любого другого иррационального) в виде десятичной дроби невозможно, потому что для этого понадобится написать бесконечное количество цифр. Вот близкое, но все же только приближенное значение этого числа:
2.6457513110645905905016...
И если умножить его на само себя, то получится хоть и очень близкое к семи число, но все-таки не семь.
R – Действительные (вещественные) числа
Если объединить рациональные и иррациональные числа в одно большое множество, то получится множество действительных чисел, которое также называют множеством вещественных чисел и обозначают буквой R. Любое число из множества натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел неизбежно является еще и действительным числом. Например, все эти числа действительные:
Хотя каждое из этих чисел также принадлежит и другим множествам:
Сориентироваться во всем этом многообразии поможет следующий рисунок, на котором изображено множество R со всеми подмножествами.
На множестве R числа не заканчиваются, существуют и другие множества чисел, для которых R – это лишь их подмножество, но это уже выходит за пределы школьной математики.