Степени с рациональным и действительным показателями

• Степень с показателем 1/n
• Степень с рациональным показателем
• Свойства степени с рациональным показателем
• Примеры
• Степень с действительным показателем
• Заключение

Степень с показателем 1/2

Прежде мы имели дело только с натуральными показателями, потом выяснили, что показателю можно придать и отрицательные значения. Попробуем пойти еще дальше, и подумаем, можно ли число 4 возвести в дробную степень ?

Если такое и возможно, то на такую степень должны действовать и свойства степени, например, третье свойство:

3.   (an)m = am∙n

Тогда возведем в квадрат и применим это свойство (о том, как умножать 2 на можно прочитать тут):

Получается, что – это такое число, квадрат которого равен четырем:

А то число, квадрат которого равен четырем, называется квадратным корнем из четырех. Значит, является квадратным корнем из четырех:

Следовательно, извлечение квадратного корня из неотрицательного числа a – это то же самое, что и возведение a в степень :

И действительно, когда мы только возводили в квадрат было такое равенство:

Если заменить на , то получится совершенно верное равенство:

Значит, – это точно такое же число как и .

Посмотрим на это с другой стороны. Что происходит с числом 22, когда из него извлекают корень?

Извлечение корня из числа 22 превратило его в число 21, то есть уменьшило показатель в два раза. Приведем еще примеры:

Каждый раз извлечение корня уменьшает показатель в два раза, т.е. извлечение корня равносильно делению показателя на 2. И абсолютно то же самое деление на 2 происходит и при возведении чисел 34 и 26 в степень с показателем , например:

Применим третье свойство степени:

И умножим показатели:

Как видите, показатель также уменьшился в два раза, как и при извлечении корня. То же происходит и с 26:

Таким образом, можно заключить, что извлечение квадратного корня из неотрицательного числа и возведение в степень – это одно и то же.

Степень с показателем 1/n

Все вышеизложенное можно распространить и на корень любой степени:

Только теперь уже эта формула будет верна только для неотрицательных a, и нельзя будет возвести отрицательное число в дробную степень , даже если n будет нечетным, ниже будет дано объянение такому ограничению.

А пока можно возводить в степень любое неотрицательное число, например:

Степень с рациональным показателем

Раньше числители в дробных показателях у нас были равны только единице, но на самом деле показатель может быть совершенно любой дробью. Попробуем вычислить чему равно .

Число равно , поэтому можно произвести замену:

На степени с дробным показателем точно также по-прежнему распространяются свойства степени. Например, то же свойство № 3. Применим это свойство:

И как уже известно, возвести число 272 в степень – это все равно что извлечь кубический корень:

Следовательно, чтобы возвести 27 в степень нужно возвести 27 в степень равную числителю, и из того что получится извлечь корень степени равной знаменателю:

Так выглядит формула, с помощью которой можно преобразовать любой рациональный показатель:

Таким образом, можно еще расширить область чисел, которые могут быть показателем степени. Теперь показатель уже может быть любым рациональным числом, в том числе и отрицательным, например, (этот пример с отрицательными рациональными показателями сморите ниже).

Объясним, почему нельзя возводить отрицательное число в дробную степень даже при нечетном n. Возьмем число −2, корень нечетной степени из отрицательного числа извлекать можно, и −2 равно кубическому корню из −8:

Теперь нарушим запрет и применим новую формулу к отрицательному числу −8:

Показатель – это дробь, значит, к ней можно применить основное свойство дроби и домножить числитель и знаменатель на 2:

И тогда получается:

Квадрат отрицательного числа −8 равен положительному числу 64:

Это будет равно двум, хотя должно было остаться −2:

Воспроизведем все это рассуждение в более кратком виде:

Получается, что 2 = −2, чего быть не может, а это значит, что была допущена ошибка, чего не произошло бы, если бы мы не возводили отрицательное число в дробную степень.

Так как теперь известно, что корень любой степени – это просто степень числа, то можно любой корень из неотрицательного числа заменить на соответствующую степень и иметь дело уже не с корнями, а со степенями, что часто бывает гораздо удобнее.

Свойства степени с рациональным показателем

Осталось только показать новые свойства степени с рациональным показателем, которые от старых отличаются тем, что, теперь показатель – любое рациональное число, а не только натуральное или целое, а основания a и b – любые положительные действительные числа.

Выходит, что степень и корень – практически одно и то же, поэтому свойства степени, и свойства корня n-й степени во многом описывают одни и те же закономерности только с разных точек зрения. Это еще одна причина, по которой не стоит торопиться запоминать все формулы – есть риск, что вы запомните несколько раз одну и ту же формулу, записанную в разных видах (вся школьная математика состоит из таких одинаковых формул).

Найдем для первых четырех свойства корня соответствующее свойство степени, описывающие по сути одно и то же.

Первое свойство корня и четвертое свойство степени показывают идентичные математические явления. Это не просто похожие формулы, это – одинаковые формулы, которые описывают одну закономерность, только с разных сторон:

Заменим корни степенями, и мы получим из первого свойства корня четвертое свойство степени:

Второе свойство корня является на самом деле дублером пятого свойства степени:

Третье свойство корня – это на самом деле третье свойство степени, в котором показатели умножаются и, следовательно, от их перестановки произведение не меняется:

Аналогом четвертого свойство корня опять является третье свойство степени:

Пятое свойство корня – это даже не прообраз какого-либо свойства степени, а следствие еще более простого основного свойства дроби – в показателе просто сокращается дробь:

Примеры

Приведем несколько примеров того, как можно упростить выражения, содержащие степени с рациональными показателями и корни.

Пример № 1

Вычислим значение этого выражения:

Первый способ.

Второй способ.

Но чтоб не возводить 16 в куб, можно было поступить иначе:

Воспользуемся первым свойством корня:

А сейчас применим пятое свойство корня к первому множителю:

Третий способ.

Но удобнее заменить корни на степени:

Сократим дробь на 2:

Заменим степени на корни и воспользуемся первым свойством степени:

Пример № 2

В определении сказано, что показатель может быть любым рациональным числом, а среди рациональных чисел есть и отрицательные, тогда попробуем вычислить:

Воспользуемся формулой, позволяющей избавиться от минуса в показателе:

Преобразуем показатель:

Применим третье свойство корня и вытащим квадрат из-под корня, чтоб извлекать кубический корень из меньшего числа, а не из 1252, которое равно 15625:

Извлекаем кубический корень из 125:

Возводим в квадрат, и вычисляем окончательно:

Пример № 3

42.5

Рациональное число в показателе совсем не обязано быть дробью, тогда его нужно заменить на дробь, имеющую такое же значение:

Есть и другой способ:

42.5 = 42+0.5

Тут нам опять поможет первое свойство степени:

Пример № 4

321.2

Заменим 1.2 на 1+0.2:

321.2 = 321+0.2

Применим первое свойство степени:

321.2 = 321∙320.2

Преобразуем 0.2 в равную этому числу дробь:

Пример № 5

Мы уже сталкивались с этим примером в прошлой статье, но тогда нам еще не была известна связь между корнем и степенью, и мы упрощали это выражение с помощью свойств корня n-й степени. Сделаем его сейчас другим способом, преобразовав корни в степени, и посмотрим какой способ лучше:

И просто применим первое свойство степени, сложив показатели:

Остается только сложить дроби и сократить:

Дальше, пожалуй, не обязательно продолжать, но чтобы не возводить в 13-ю степень можно выделить целую часть:

Степень с действительным показателем

Можно ли еще расширить область чисел, которые могут быть показателем степени, и на иррациональные числа, чтобы показателем могло быть совершенно любое действительное число? И оказывается это вполне возможно, и такая запись имеет полное право на существование:

Мы пока не владеем достаточными математическими знаниями, чтоб доказать это, но показателем может быть совершенно любое действительное число при том условии, что основание степени положительное.

Так как иррациональное число, то не получится вычислить его точное значение в виде десятичной дроби, но этого и не потребуется, главное – это то, что такое число существует. Все же попытаемся оценить приблизительно значение этого числа.

Квадратный корень из семи приблизительно равен 2.64575131:

Значит, корень из семи меньше чем 2.64 и больше чем 2.65:

Поменяем эти числа на дроби, имеющие такое же значение:

Сократим эти дроби на 4 и на 5:

И в силу монотонности этой функции можно утверждать, что находится между двумя этими числами:

А в силу того, что:

Можно утверждать, что

Приблизительное значение обоих корней будет равно:

Тогда будет находиться где-то между этими числами:

Вычислим приближенное значение более точно на инженерном калькуляторе:

Оно прекрасно уложилось в вычисленный нами промежуток:

18.18 < 18.2954958858192215 < 18.38

Свойства степени распространяются и на степени с действительным показателем. Надо только понимать, что в действительную степень можно возводить любое, но только положительное число.

Заключение

Наверное, вы уже заметили, что для каждой степени есть свое множество чисел, которые можно возводить в эту степень и которые нельзя возводить в эту степень. Например, в натуральную степень можно возвести любое действительное число, а в рациональную степень – только неотрицательное.

Попытаюсь объяснить причину таких ограничений. Представим, что мы дети, которые не понимают никаких чисел кроме натуральных, которыми можно только посчитать количество яблок, нам не известны ни отрицательные, ни дробные числа, и мы не знаем такие числа как 0.5 или −3.2. Тогда мы можем прибавить три яблока к пяти и получить 8:

5+3=8

Также мы можем произвести обратную операцию – вычитание, и получить из восьми пять яблок:

8−3=5

Но если мы попытаемся от пяти яблок отнять восемь, то нам придется выйти за пределы натуральных чисел в отрицательные числа, о которых нам еще ничего не известно, и какие там действуют правила сложения и вычитания не понятно. Поэтому мы просто запрещаем себе производить операции вычитания большего числа из меньшего до тех пор, пока мы не изучим отрицательные числа. Так и возникает ограничение на некоторые арифметические действия.

По той же самой причине накладываются подобные ограничения на возведение в степень некоторых чисел. В школьной программе изучают только действительные числа, но есть еще и совсем другие неизвестные комплексные числа, в которых уже можно совершенно свободно возводить любое число в любую степень (только не ноль в нулевую степень). Но чтобы оперировать с комплексными числами, нужно изучить еще некоторые разделы школьной математики.

И поэтому чтобы избежать попадания в непознанную часть математики, ограничивают некоторые операции так, чтобы обязательно остаться в области действительных чисел.

Чтобы не путаться в том, какое число можно возводить в данную степень, а какое нельзя, занесем все эти данные в эту единую таблицу. О том, что значат буквы N, Z, Q, R, написано в доступной форме тут.

В верхней строке таблицы указаны множества чисел, к которым может относиться показатель, в нижней – множества чисел, к которым может относиться основание с этим показателем.

Покажем, как пользоваться таблицей. Допустим, требуется выяснить, можно ли число 2.1 возвести в степень −0.75, тогда a=2.1, а x=−0.75. Число x – является рациональным (Q). Тогда ищем букву Q в верхней строке, она там есть сразу в двух верхних ячейках таблицы – для варианта x<0 и x>0. Наше число x – меньше нуля, значит из двух подходящих ячеек с буквой Q нам подходит № 4 , в которой x<0. Под этой верхней ячейкой № 4 расположена нижняя, в ней указано a>0, это значит, что a должно быть любым действительным числом больше нуля. Выходит, что число a=2.1 подходит, потому что 2.1>0, и 2.1 можно возвести в степень −0.75.

Также число x=−0.75 является еще и действительным числом (R), следовательно, кроме ячейки № 4 числу x=−0.75 подходит одновременно и пятая верхняя ячейка, под которой указано, что основанием тоже может быть любое положительное действительное число (a>0). Ввиду того, что все числа, которые мы уже успели изучить, являются действительными, пятая ячейка будет всегда подходить всем показателям.

© Кирилл Морковкин & Машка Кулибякина