Что такое функция

• Определение
• Кусочная функция

Определение

Чтобы было проще понять что такое функция, сначала разберем такой пример.

Пусть есть множество X, состоящее из пяти натуральных чисел от 1 до 5, вот все элементы этого множества:

X = {1, 2, 3, 4, 5}

Теперь возьмем из множества X какое-нибудь число, например 1, умножим его на 10 и к тому, что получится, прибавим 1:

10∙1+1=11

Это число 11 поставим в соответствие числу 1, которое брали из множества X:

1⟶11

Таким же образом можно поступить с любым другим числом из множества X. Возьмем число 2 из множества X, и применим к нему то же самое правило: умножим его на 10 и прибавим 1:

10∙2+1=21

Тогда числу 2 из X, к которому применяли правило, будет соответствовать число 21:

2⟶21

С числом 3 из множества X поступим аналогично – умножим на 10 и прибавим 1:

10∙3+1=31

И сопоставим числу 3 из X число 31:

3⟶31

Применим это правило к оставшимся числам 4 и 5 из множества X – получим еще числа 41 и 51:

10∙4+1=41

10∙5+1=51

И сделаем еще два соответствия:

4⟶41

5⟶51

Множество из пяти чисел, которое получилось в результате применения правила, назовем буквой Y:

Y = {11, 21, 31, 41, 51}

Правило, по которому можно, по числу из множества X, получить соответствующее ему число из множества Y называется функцией. В нашем случае функцией является правило, в котором мы число из X умножали на 10 и прибавляли 1.

Функции можно описывать (задавать) самыми разными способами, например, просто перечислением всех соответствий, если их конечное количество:

1⟶11

2⟶21

3⟶31

4⟶41

5⟶51

В виде таблицы:

Функция в виде таблицы

X	1	2	3	4	5
Y	11	21	31	41	51

Просто словами: «существует множество X с натуральными числами от 1 до 5. Чтобы по числу из множества X получить соответствующее ему число из множества Y, нужно число из множества X умножить на 10 и прибавить 1».

Функцию можно задать в виде графика (об этом способе речь пойдет в следующих статьях)

Но обычно функцию задают с помощью формулы, в таком случае говорят, что функция задана аналитически. Нашу функцию можно задать такой формулой:

y = 10∙x+1

Как уже известно, в нашей функции числу 3 из множества X соответствует число 31 из Y, это же соответствие можно установить и с помощью этой формулы, если вместо x подставить число 3, то y будет равен 31:

y = 10∙3+1 = 30+1 = 31

Так можно установить соответствие каждому элементу из X. Например, числу 4 из X соответствует число 41 из множества Y и формула показывает такое же соответствие:

y = 10∙4+1 = 40+1 = 41

В таких случаях говорят, что число 41 является значением функции при x = 4 или значение функции в точке x=4 равно 41.

В точке x = 5 значение функции будет равно 51:

y = 10∙5+1 = 50+1 = 51

Переменные x и y в формуле этой функции неравноправны, x – независимая переменная, которую еще называют аргументом, y – зависимая переменная, так как ее значение зависит от x. Стрелки на рисунках, изображающих функцию, всегда идут от значения независимой переменной к значению зависимой. Саму же функцию иногда называют зависимостью.

Независимую переменную чаще обозначают буквой x, зависимую – буквой y, но на самом деле их можно обозначать любыми буквами.

Множество, в которое входят все значения независимой переменной, называют областью определения функции, а множество, в которое входят все значения зависимой переменной, – областью значений функции. В функции y = 2∙x+1 областью определения было множество X:

X = {1, 2, 3, 4, 5}

А областью значений – множество Y:

Y = {11, 21, 31, 41, 51}

Количество чисел в области определения и области значений может быть каким угодно, в том числе и бесконечным, как и в большинстве школьных функций. В следующих статьях мы еще не раз будем встречаться с такими понятиями как область определения и область значений и разберем их более детально.

Разумеется y = 10∙x+1 – не единственная функция с такой областью определения и областью значений. Можно придумать новую функцию, которая будет тем же числам из X ставить в соответствие такие же числа из Y, но по другому правилу, например, такую:

y = 61−10∙x

Новая функция числу 1 будет ставить в соответствие уже число 51:

y = 61−10∙1 = 61−10 = 51

А числу 2 – число 41 из множества Y:

y = 61−10∙2 = 61−20 = 41

Еще одна важная деталь: функция должна какому-либо значению независимой переменной ставить в соответствие только одно значение зависимой переменной. То есть неважно, какое число из области определения мы подставим вместо x в формулу, y обязан принять единственное возможное значение.

Однако, допускается, чтобы функция нескольким значениям независимой переменной ставила в соответствие одно и то же значение зависимой переменной. Например, при разных значениях x эта функция принимает одинаковые значения:

y = (x−3)2

В точке x = 1 и в точке x = 5 оба значения равны четырем:

y = (1−3)2 = (−2)2 = 4

y = (5−3)2=22 = 4

Зададим функцию, которая будет фамилии человека ставить в соответствие его возраст. Область определения – это множество фамилий, область значений – множество возрастов этих людей. Тогда некоторые разные люди могут иметь одинаковый возраст, но один и тот же человек не может иметь хотя бы два разных возраста.

Теперь можно дать точное определение, сейчас оно должно быть полностью понятным:

Очевидно, что в этом определении элементы из первого множества будут обозначаться независимой переменной (аргумент), а элементы из второго – зависимой.

Перейдем к конкретному примеру.

Функции могут быть заданы самыми разнообразными формулами как очень простыми, так и довольно сложными и громоздкими с использованием дробей, степеней, квадратных корней, корней n-й степени:

y = x

y = |x|

y = x2

y = 2x

Области определения и области значений всех этих функций состоят из бесконечного количества чисел.

Кусочная функция

Бывает так, что для одних значений независимой переменной функцию задают одной формулой, а для других значений независимой переменной – другой формулой, такие функции называют кусочными; вот пример одной из них:

В этой формуле после y= возможны два варианта ее продолжения 0.5∙x и x2. Поэтому в ней содержатся сразу две такие формулы

y = 0.5∙x

y = x2

Значение кусочной функции следует вычислять по одной из этих двух формул. А по какой именно из них подскажут, указанные в формуле кусочной функции, эти условия:

x<0

x≥0

Если значение x будет меньше нуля, т.е. выполняется первое условие x<0, то вычислять значение функции следует по первому варианту формулы:

y = 0.5∙x

Если значение x будет больше нуля или равно ему, то выполняется второе условие x≥0, значит, вычислять значение кусочной функции нужно по второй формуле:

y = x2

Вычислим значение этой функции в точке x = −4. Для этого сначала определим, каким вариантом формулы нужно воспользоваться. Мысленно подставляем в условия вместо x число −4. Какое из условий верно для числа −4 ? Очевидно, что верно первое условие x<0, поскольку −4 меньше нуля:

   x<0

−4<0

В строке с первым верным для x = −4 условием и находится вариант формулы, по которому надо вычислять значение кусочной функции:

Подставим −4 вместо x в первую формулу y = 0.5∙x:

y = 0.5∙(−4) = −0.5∙4 = −2

Значит, значение кусочной функции в точке x = −4 равно −2.

Попробуем определить значение этой же кусочной функции в точке x = 3. На этот раз первое условие будет не верным, а второе – верным, потому что 3 больше нуля:

x≥0

3≥0

Следовательно, нужно выбрать второй вариант формулы y = x2:

Тогда значение кусочной функции в точке x = 3 равно 9:

y = 32 = 9

Выходит, что все x, которые меньше нуля нужно подставлять в первую формулу; а все x, которые больше нуля или равны ему – во вторую. Например, значение этой функции в точке x = −1 следует вычислять по первому варианту формулы, потому что −1 меньше нуля:

y = 0.5∙(−1) = −0.5

Значит, значение функции в точке x = −1 равно −0.5.

Чтобы определить значение функции в точке x = 0, нужно применить второй вариант формулы, так как 0 равен нулю:

y = 02 = 0

Получается, что значение функции в точке x = 0 равно нулю.

Число −1.8 меньше нуля, следовательно, применяем первый вариант формулы, тогда значение функции в точке x = −1.8 будет равно −0.9:

y = 0.5∙(−1.8) = −0.9

Число больше нуля, значит, вычисляем по второму варианту формулы, которая показывает, что значение функции в точке равно 5:

В первом условии этой функции сказано, что x может быть любым числом меньше нуля, а второе условие говорит, что x может быть любым числом равным нулю или больше нуля. Получается, что областью определения является всё множество действительных чисел – нет такого действительного числа, которое не подошло бы ни к одному из двух условий. Значением этой функции тоже может стать любое действительное число, следовательно, областью значений функции также является множество действительных чисел.

Кусочные функции могут включать в себя и больше двух вариантов формул и условий, но вычисляют значения этих функций по тому же принципу, просто выбирать нужно будет одну формулу не из двух, а из трех или четырех. Например, в следующей функции сразу три варианта формул:

Значение такой функции определяют по одной из этих формул:

y = 2∙x+8

y = x2+2

y = 4−x

Первый вариант y = 2∙x+8 следует применять, для всех x, которые меньше числа −2 либо равны −2, т.е. для всех чисел из промежутка (−∞; −2]. Например, число −4.65 принадлежит промежутку (−∞; −2], тогда значение этой функции в точке x = −4.65 равно −1.3:

y = 2∙(−4.65)+8 = −9.3+8 = −1.3

Значение функции в точке x = −2 тоже нужно вычислять по первой формуле, поскольку только первое условие верно для числа −2:

y = 2∙(−2)+8 = −4+8 = 4

Для любого числа x, которое больше −2 и меньше 1, надо применять вторую формулу. Например, при x = 0.7   y равен 2.49, следовательно, значение функции в точке x = 0.7 равно 2.49:

y = 0.72+2 = 0.49+2 = 2.49

Ко всем x от 1 включительно до 9 включительно применяют третий вариант формулы y = 4−x. Так значение функции в точке x = 5.3 равно −1.3:

y = 4−5.3 = −1.3

Числа 1 и 9 подходят третьему условию 1≤x≤9, поэтому значение функции в точке x = 1 и x = 9 вычисляют тоже по третьей формуле:

y = 4−1 = 3

y = 4−9 = −5

Но ни одно число, которое больше 9-ти, не будет подходить ни в одно из трех условий, значит, значение функции в точках x, которые больше 9-ти, не существуют, следовательно, эти числа просто не входят в область определения, которая равна множеству чисел из промежутка (−∞; 9]. Область значений этой функции состоит из чисел, входящих в промежуток (−∞; 4], это значит, что значением функции может стать любое число, которое меньше четырех или равно четырем, но не больше четырех.

© Кирилл Морковкин & Машка Кулибякина